Подставляя это соотношенпе в уравнеппе (3), имеем
на этот вопрос заметим, что если Ti(x, t)—решение задачи (4) с начальными данными T\(x)f а Т2(х, t) — решение, соответствующее начальным данным ^(а:),; то Т3(х, t)= Ti(x, t)+ Тг(х, t) также будет решением (4} с начальным условием 1% (х) = Г (х) + Т°2 (х), что легко проверить.
Решение для новой обстановки для офиса - http://rndmeb.ru/ с замечательными принципами композиции.
С этим замечательным фактом, названным принципом суперпозиции (наложения), связано большинство достижении в изучении явлений, которые можно описать линейными уравнениями. Крупнейший американский физик-теоретик Р. Фейнман восторженно писал о его значении в атомной физике и теории элементарных частиц: «Я готов биться об заклад, что принцип суперпозиции будет стоять в веках».
Воспользуемся этим принципом. Пусть у нас есть набор решений T„(x,t), Т^х, t), ..., T„{x,t), соответствующих начальным данным Т% (х), Т\ (х), ..., Т° (х). Если начальные данные в интересующем нас случае можно представить в виде суммы
Поскольку g(t) не зависит от х, f(x)—от t, то X — постоянная, не зависящая ни от х, ни от t. Равенство (6)' может быть записано как два дифференциальных уравнения:
Набор собственных функций /„ является полным: любое непрерывное начальное распределение можно представить в виде ряда Фурье
Несколько функций /„ показаны. С ростом п увеличивается число максимумов /„. Метод, использующий разложение по собственным функциям, с которыми мы только что познакомились, называют методом Фурье. Чем более гладкая функция, чем меньше у нее максимумов, тем быстрее коэффициенты Фурье с„3 убывают с ростом п. Вновь обратимся к ЭВМ, которая может дать не только решение нашей задачи для конкретных начальных данных (см.), но и значения С С) на разные моменты времени. |
Главная
Каталог файлов
