Физики иногда называют функции C„(t) модами или гармониками. Важно отметить, что чем выше номер гармоники, тем быстрее убывает функция C„(t), и в конце концов, как и должно быть, остается только (0 Т' где Г и есть установившаяся после переходного процесса температура стержня.
Для случаев ускоренного процесса существует http://www.madon.ru/cifrovaya-pechat/pechat-vizitok-srochno/.
Обратим внимание еще на одну важную деталь: решение задачи (4) обладает свойством устойчивости: небольшое изменение начальных данных Т°(х) приводит к небольшому изменению решения Т(х, t). Мы обсудили случай теплоизолированного стержня. Но иногда бывает нужно изучать и другие задачи, например такие, где па торцах задается определенная температура. Краевые условия, соответствующие этой задаче, Т(0, t)=T,, Т{1, t)=T2. Математики говорят, что при этом рассматривается первая краевая задача. Параметры стержня одни и те же в каждом сечении, выделенных элементов в нем нет. Воспользовавшись этим соображением, читатели, наверное, смогут указать, какие распределения температуры устанавливаются в конце концов. В самом деле, можно ожидать, что Г,=0, но тогда 7,11=0. Это означает, что установившийся предел температуры Т (х) — линейная функция х, а поскольку она должна удовлетворять краевым условиям, то Т= Тх -) —j—-х. Как происходит выход на это решение, можно выяснить, пользуясь обсуждавшимися выше методами.
1 Здесь и далее в этой статье с„, л=0, 1, 2, будут обозначать
набор чисел коэффициентов Фурье, иайдеппых по начальпым данным; n=0, 1, 2, — набор функций, зависящих от времени, которые характеризуют динамику процесса. |
Главная
Каталог файлов
